DataStructure-Tree-Binary-Heap

Data Structure: Binary Heap

The lecture note of MIT6.006, Lec8: Binary Heaps.

Priority Queue Interface

  • build(X): Init to items in XX.
  • insert(x): add item xx.
  • delete_max(): delete and return the max-key item.
  • find_max(): return max_key item.

Queue is a Linear List, but if I want to place different priorities into different elements, we need to use Priority Queue implemented by Tree!

Heap Sort

For dynamic array, insert is max but delete_max() is too slow (O(n)O(n))! However, in Sorted Dynamic Array, it is just the opposite. It’s a tradeoff for inserting and deleting if you stick to the sequential data structure. However, we can use Set AVL for getting both operations O(log⁡n)O(\log n) time complexity!

In place means when sorting, the data structure doesn’t need extra space (or O(1)O(1) time complexity) to finish sorting. AVL set is very complex, where we need extra space to do several rotations in order to get the sorting.

Priority Queue Sort

Time complexity O(nlog⁡n)O(n\log n).

  • insert xx for xx in array (A) (build(A))
  • using delete_max until the priority queue is empty.
  • Then we get sorted for using the Priority Queue Sort.

Arrays as a Complete Binary Tree

Consider the complete binary tree, there is a bijection (one to one correspondence) between this binary tree and an array traversed by a sequential order.

Arrays as a complete binary tree

Data Structure Priority Queue

Lecture note for Data Structure in SJTU

基于线性表的优先级队列

如何处理优先级？

  • 进队插入，出队直接出队队首元素（Dynamic Sorted Array）
  • 进队尾端进队，出队查找优先级最高的元素出队 （Dynamic Array）

基于树的优先级队列

Definition

堆可以分为两种主要类型：最大堆（Max-Heap） 和 最小堆（Min-Heap） ，它们的核心性质如下：

最大堆（Max-Heap）

对于一个最大堆：

  • 堆中的每个节点的值都大于或等于 其子节点的值。
  • 数学上，设 h[i]h[i] 表示堆中第 i 个节点的值，则对于任意节点 ii 满足以下条件：h[i]≥h[2i+1]h[i]≥h[2i+1]和h[i]≥h[2i+2]h[i]≥h[2i+2]其中 2i+12i+1 和 2i+22i+2 分别是节点 i 的左子节点和右子节点的索引。

最小堆（Min-Heap）

对于一个最小堆：

  • 堆中的每个节点的值都小于或等于 其子节点的值。

  • 数学上，设 h[i]h[i] 表示堆中第 i 个节点的值，则对于任意节点 ii 满足以下条件：h[i]≤[2i+1]h[i]\le[2i+1]和h[i]≤h[2i+2]h[i]\le h[2i+2]其中 2i+12i+1 和 2i+22i+2 分别是节点 i 的左子节点和右子节点的索引。

  • 二叉堆完全符合完全二叉树的结构性质，同时满足有序性。

  • 由于二叉堆是完全二叉树，故可以使用顺序存储的形式来存储一个完全二叉树。

优先级队列的存储实现 二叉堆

二叉堆的数学性质保证了根节点始终是最大值和最小值。假设数值越大，优先级越高，故可以使用一个最大化堆来存储优先级队列。一旦保持了二叉堆的性质，我们只需要返回根节点就可以找到最优先的元素。因此，二叉堆的重点是进队和出队的操作，来保持二叉堆的有序性质和完全二叉树的操作。

进队操作

  • 满足结构性：添加在叶子结点，保证还是完全二叉树。
    • 在最大序号的元素之后
  • 为了满足有序性：新节点不断向上过滤（对于父亲比儿子小的情况），直到满足父亲比儿子大，满足有序性
    • 在向上过滤的过程中，优先级是递增的

出队操作

在根节点出队后，为了保证结构性，把最后一个节点放进根节点，使其变成完全二叉树。

为了满足有序性，此处可以向下过滤，将两个儿子中更大的元素与父亲交换。

建堆操作

  • 递归调用左右子树
  • 也可以自下而上，对每一个非叶结点向上过滤。

这样的建堆过程能够达到线性时间复杂度，证明见下：

Linear Time Complexity

代码实现

因此，我们给出二叉堆的具体实现，保持完全二叉树的有序性和结构性：

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#include <iostream>

template <class T>
class priorityQueue {
private:
    size_t currentsize;
    T* array;
    size_t maxsize;

    void doublespace() {
        T* tmp = array;
        maxsize *= 2;
        array = new T[maxsize];
        for (size_t i = 0; i <= currentsize; ++i) {
            array[i] = tmp[i];
        }
        delete[] tmp;
    }

    void buildheap() {
        for (size_t i = currentsize / 2; i >= 1; --i) {
            percolateDown(i);
        }
    }

    void percolateDown(size_t hole) {
        size_t child = 0;
        T tmp = array[hole];

        while (hole * 2 <= currentsize) {
            child = hole * 2;
            if (child < currentsize && array[child + 1] < array[child]) {
                ++child;
            }

            if (array[child] < tmp) {
                array[hole] = array[child];
                hole = child;
            } else {
                break;
            }
        }
        array[hole] = tmp;
    }

public:
    priorityQueue(size_t capacity = 100) : currentsize(0), maxsize(capacity) {
        array = new T[maxsize];
    }

    ~priorityQueue() {
        delete[] array;
    }

    priorityQueue(const T* data, size_t size) : currentsize(size), maxsize(size + 10) {
        array = new T[maxsize];
        for (size_t i = 0; i < size; ++i) {
            array[i + 1] = data[i];
        }
        buildheap();
    }

    bool empty() const {
        return currentsize == 0;
    }

    void enQueue(const T& x) {
        if (currentsize == maxsize - 1) {
            doublespace();
        }

        size_t hole = ++currentsize;
        while (hole > 1 && x < array[hole / 2]) {
            array[hole] = array[hole / 2];
            hole /= 2;
        }
        array[hole] = x;
    }

    T deQueue() {
        if (empty()) {
            throw std::underflow_error("Priority queue is empty");
        }

        T minItem = array[1];
        array[1] = array[currentsize--];
        percolateDown(1);
        return minItem;
    }

    T getHead() const {
        if (empty()) {
            throw std::underflow_error("Priority queue is empty");
        }
        return array[1];
    }
};

template <typename T>
void pqsort(T* unsorted, T* sorted, size_t size) {
    priorityQueue<T> pq(unsorted, size);
    for (size_t i = 0; i < size; ++i) {
        sorted[i] = pq.deQueue();
    }
}

int main() {
    int size = 5;
    int unsorted[] = {1, 4, 2, 6, 3};
    int* sorted = new int[size];

    try {
        pqsort(unsorted, sorted, size);

        for (size_t i = 0; i < size; ++i) {
            std::cout << sorted[i] << std::endl;
        }
    } catch (const std::exception& e) {
        std::cerr << "Error: " << e.what() << std::endl;
    }

    delete[] sorted;
    return 0;
}

同时，我们利用priority queue实现了priority queue sort函数，通过对原始数组建立二叉堆，接着不断的删除根节点元素，得到排序后的元素（in the Ascending order），因为这里是一个最小堆。

D堆

延伸：每个节点有DD个儿子。

当D较大时，对于入队操作，二叉树的高度更低，因此向上过滤的速度更快（每个儿子只有一个爸爸），但是代价是对于出队操作，需要查找的节点数上升，导致向下过滤的速度变慢。并且在二叉树中，移位的操作是依靠位运算（乘2或除2）来实现的，速度较快，而如果D不是2的幂次。

使用二叉堆能够高效地实现优先级队列，但是二叉堆结构实现非常的严格，必须要同时满足完全二叉树的结构性和最大（最小）的排序性。

如果在不考虑结构性的情况下仍然保证有序性？我们就可以产生各种各样的堆！

由于不再保持完全二叉树的严格结构，我们可以生成很多很多个堆，因此此时，堆之间的合并是非常重要的操作。

D堆的作用：

  • 对于插入操作远多于删除操作的情况

  • 对于较大的优先级队列导致无法装入内存的情况，D堆可以减少内外存的交换。

    • D堆的每个节点有 DD个子节点，因此每个节点可以表示更多的信息。当DD较大时，堆的宽度增加，而高度降低。这使得堆的每一层可以更好地适应内存分页机制：

      • 更少的层数意味着更少的页面切换。
      • 每次访问的节点更集中，减少了跨页访问的概率。

    • 减少了内外存之间的数据交换次数，提升了整体性能。

归并优先级队列

左堆

Definition

  • 空路径长度 nplnpl ：x到不满两个个儿子节点的最短路径。
    • 具有1个或0个儿子节点的npl为0
    • 空节点（nullptr）的npl=−1npl = -1
  • 左堆保证左儿子的nplnpl >= 右儿子的nplnpl

形象来说，就是不满足平衡性（完全二叉树）但是向左倾斜的堆。

左堆的递归归并

我们实现对两个子堆的合并操作：

  • 将根节点稍大的堆与另一个堆的右子树进行归并。
  • 如果产生的堆违反了左堆的定义，则交换左右子树（这一步在“归”的步骤上实现）
  • 递归的终止条件：当某个堆为空，另一个堆就是归并的结果。
  1. 假设 H1H_1 的根节点值小于等于 H2H_2 的根节点值（不失一般性）。
  2. 将H2H_2与 H1H_1 的右子树进行递归合并，结果是一个新的右子树。
  3. 将这个新的右子树重新赋值给 H1.rightH_1.right。
  4. 检查并调整 H1H_1 的左偏性质（即确保左子树的零路径长度大于等于右子树的零路径长度）。
  5. 更新 H1H_1 的零路径长度

Merge

左堆进队和出队

  • 看做归并的特例（单元素堆）

  • 删除根节点后再归并两个堆。

代码实现

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/*
 * @Author: Xiyuan Yang   xiyuan_yang@outlook.com
 * @Date: 2025-03-27 17:25:03
 * @LastEditors: Xiyuan Yang   xiyuan_yang@outlook.com
 * @LastEditTime: 2025-03-27 17:39:34
 * @FilePath: /Data_structure/single_files/Class_implementation/LeftistHeap.cpp
 * @Description: 
 * Do you code and make progress today?
 * Copyright (c) 2025 by Xiyuan Yang, All Rights Reserved. 
 */
#include <iostream>

struct LeftistNode {
    int key;
    int npl; // Null Path Length
    LeftistNode* left;
    LeftistNode* right;

    LeftistNode(int k) : key(k), npl(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

class LeftistHeap {
public:
    LeftistHeap() : root(nullptr) {}

    void insert(int key) {
        LeftistNode* newNode = new LeftistNode(key);
        root = merge(root, newNode);
    }

    void deleteMin() {
        if (!root) return;
        LeftistNode* temp = root;
        root = merge(root->left, root->right);
        delete temp;
    }

    int getMin() const {
        if (!root) throw std::runtime_error("Heap is empty!");
        return root->key;
    }

private:
    LeftistNode* root;

    LeftistNode* merge(LeftistNode* h1, LeftistNode* h2) {
        if (!h1) return h2;
        if (!h2) return h1;

        if (h1->key > h2->key) std::swap(h1, h2);

        h1->right = merge(h1->right, h2);

        if (!h1->left || h1->left->npl < h1->right->npl) {
            std::swap(h1->left, h1->right);
        }

        h1->npl = h1->right ? h1->right->npl + 1 : 0;
        return h1;
    }
};

int main(){
    const int size = 10;
    int unsorted [size] = {1,4,6,7,2,3,5,8,92,31};

    //creating a new leftist heap
    LeftistHeap lfh;
    for(int i = 0; i < size; ++i){
        lfh.insert(unsorted[i]);
    }

    int* sorted = new int [size];
    for(int i = 0; i < size; ++i){
        sorted[i] = lfh.getMin();
        lfh.deleteMin();
    }

    for(int i = 0; i < size; i++){
        std::cout << sorted[i] << std::endl;
    }

    delete [] sorted;

}

斜堆

左堆对完全二叉树的严格显示做了适当的宽松，但是代价是仍然需要维护左堆的性质（即维护每个结点的npl）。我们可以进一步简化，于是我们可以构造斜堆来实现没有任何平衡条件限定的二叉树实现。

斜堆是仅满足有序性不满足任何结构性的二叉树。最坏时间复杂度为O(N)O(N)，平均时间复杂度为O(log⁡N)O(\log N)。（这一点会在后面的代码中详细分析）

斜堆相当于是一个自调整的左堆，在归并的过程中，无需判断是否满足左堆，但是在归的过程中左右子树的交换是必须的。并且也无需维护npl。

具体而言，在斜堆的归并操作中：

  • 将根节点较大的堆和根节点较小的右子堆归并。（这一点和左堆完全相同），作为新的右子堆。
  • 递归终止条件：两个需要合并的堆中有一个为空。
  • 每一次归并完成后需要将归并起来的堆的左右子树交换。

为什么要实现第三点？因为交换左右子树本质上是实现一种洗牌的操作，否则斜堆很有可能会退化为二叉链表类（这样的退化情况会让O(h)O(h)退化为O(n)O(n)，是我们最不想看到的）

这一点从感觉上来说非常好理解，因为我们相当于在更新H2H_2的右节点，这样会导致右侧的子树比左边的更大，因此为了保证平衡，我们需要不断的交换左右节点。因为只有平衡二叉树才能保证O(h)=O(log⁡n)O(h)=O(\log n)，否则会出现退化链表的情况。

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 * @Author: Xiyuan Yang   xiyuan_yang@outlook.com
 * @Date: 2025-03-27 19:10:30
 * @LastEditors: Xiyuan Yang   xiyuan_yang@outlook.com
 * @LastEditTime: 2025-03-27 19:13:34
 * @FilePath: /Data_structure/single_files/Class_implementation/skewHeap.cpp
 * @Description: 
 * Do you code and make progress today?
 * Copyright (c) 2025 by Xiyuan Yang, All Rights Reserved. 
 */

#include <iostream>
struct SkewNode {
    int key;
    SkewNode* left;
    SkewNode* right;

    SkewNode(int k) : key(k), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

class SkewHeap {
public:
    SkewHeap() : root(nullptr) {}

    void insert(int key) {
        SkewNode* newNode = new SkewNode(key);
        root = merge(root, newNode);
    }

    void deleteMin() {
        if (!root) return;
        SkewNode* temp = root;
        root = merge(root->left, root->right);
        delete temp;
    }

    int getMin() const {
        if (!root) throw std::runtime_error("Heap is empty!");
        return root->key;
    }

private:
    SkewNode* root;

    SkewNode* merge(SkewNode* h1, SkewNode* h2) {
        if (!h1) return h2;
        if (!h2) return h1;

        if (h1->key > h2->key) std::swap(h1, h2);

        // Swap the children of h1
        h1->right = merge(h1->right, h2);
        std::swap(h1->left, h1->right);

        return h1;
    }
};


int main(){
    const int size = 10;
    int unsorted [size] = {1,4,6,7,2,3,5,8,92,31};

    //creating a new leftist heap
    SkewHeap skh;
    for(int i = 0; i < size; ++i){
        skh.insert(unsorted[i]);
    }

    int* sorted = new int [size];
    for(int i = 0; i < size; ++i){
        sorted[i] = skh.getMin();
        skh.deleteMin();
    }

    for(int i = 0; i < size; i++){
        std::cout << sorted[i] << std::endl;
    }

    delete [] sorted;

}

左堆和斜堆在代码实现上都是比较简单的，因为都是递归函数。但是笔者在初学的时候不仅产生了如下的疑惑：

  • 二叉堆那么完美，为什么我们希望这个堆保持左倾？（左堆）
  • 归并的本质就是让两个堆在合并只会仍然保持堆的两条性质：有序性（这是优先级队列的核心）和 结构性，那为什么在斜堆中我们需要强制交换左右子树呢？

左堆相对于斜堆有什么优势？

  • 左堆 ：左堆的合并、插入和删除最小值操作的时间复杂度为 O(logn)，这是一个确定性的上界。这种确定性使得左堆在对性能要求严格的场景中更有优势。
  • 斜堆 ：斜堆的合并、插入和删除最小值操作的均摊时间复杂度也是 O(logn)，但这只是均摊意义上的结果。在最坏情况下，斜堆的操作可能会退化到 O(n)。

优势总结 ：

  • 左堆提供了更强的时间复杂度保证，适合需要稳定性能的场景。
  • 斜堆虽然在均摊意义上与左堆相当，但在最坏情况下可能表现不佳。
特性左堆斜堆
时间复杂度确定性O(logn)均摊O(logn)，最坏O(n)
实现复杂度较高（需要维护零路径长度）较低（无需额外信息）
空间开销较高（需要存储额外信息）较低

二项堆

我们可以再大胆一点！如果我们不使用二叉树，而是用广义的树进行储存呢？下面介绍二项堆，使用广义的树实现储存。

二项树构成的森林：

  • 每一颗二项树都满足堆的有序性。
  • 高度为kk的二项树Bk−1B_{k-1}是Bk−2B_{k-2}加到另一棵Bk−2B_{k-2}的根上形成的。

二项树不是二叉树。

Binomial heap

基于二项树的优先级队列表示

也就是说，我们可以使用二项树的集合（也就是森林）来实现优先级队列的存储。首先对于给定的元素个数kk，根据二进制原理，可以使用二进制编码编码kk，如果第ii为是1，那么二项树BiB_i就在森林中，可以储存2i2^i个元素。这样就可以把每一个元素都填入到这个优先级队列中！

因为每一个二项树都满足有序性，因此只需要挑选所有二项树的根节点的最大值（或者最小值），就可以找到最大元素或者最小元素。因此，二项树实现的最关键环节还是归并操作！

对于归并操作，非常类似于二进制的加法。首先明确队列中元素的个数可以唯一确定不同高度子树的分布情况，因此一旦队列的元素个数发生了改变（删除元素或者插入元素），那么此时对应的二进制编码发生了改变，我们需要对某些树进行操作，使其高度发生变化。下面考虑两个二项堆发生归并的情况：

  • 从低到高归并两个优先级队列中相同的树
    • 如果是两棵树，把根节点值大的作为根节点值小的树的子树，这样2个BkB_k就可以合并成一个Bk+1B_{k+1}，满足有序性。
    • 如果是三棵树，随机选择两颗合并即可。
    • 关键就是保持相同高度二项树只能为1或0。

对于入队和出队操作，同样也可以看做归并的特殊情况。此处不再具体分析。

归并的时间复杂度

对于归并运算，相当于二进制的进位过程，因此，最倒霉的情况是每个高度都发生了进位。

最坏情况分析

在最坏的情况下相当于B0,B1,B2,…,BkB_0, B_1, B_2, \dots, B_k全部存在，这个时候在加入一个单节点就会不断进位，此时元素总数为：

n=20+21+22+23+⋯+2k=2k+1−1n=2^0+2^1+2^2+2^3+\dots+2^k=2^{k+1} - 1

也就是说，此时时间复杂度是O(log⁡n)O(\log n)级别的。

平均情况分析
  • B0,B1,B2,…,BkB_0, B_1, B_2, \dots, B_k 出现的概率均为 1/21/2，所以
  • B0,B1B_0, B_1 同时出现的概率为 1/41/4，归并 2 次
  • B0,B1,B2B_0, B_1, B_2 同时出现的概率为 1/81/8，归并 3 次，…\dots

于是，平均情况的时间复杂度为：

T=∑i=1Ki⋅(1/2)iT = \sum_{i=1}^{K} i \cdot (1/2)^i \\

使用错位相减法，可以得到：

T=2−(1/2)K−K⋅(1/2)K<2T = 2 - (1/2)^K - K \cdot (1/2)^K < 2

也就是说，归并的平均时间复杂度是常数级别的！

二项堆的时间性能

归并
  • NN 元素队列至多有 log⁡N+1\log N + 1 棵树，每两棵树归并只需要常量O(1)O(1)的常数时间复杂度，
  • 最坏情况时间复杂度为 O(log⁡N)O(\log N)
进队
  • 平均情况时间复杂度为 O(1)O(1)
出队
  • 找出根结点值最小的树，耗时 O(log⁡N)/O(log⁡N)O(\log N) / O(\log N)
  • 归并若干个优先级队列，耗时 O(1)/O(log⁡N)O(1) / O(\log N)
  • 平均/最坏时间复杂度是 O(log⁡N)/O(log⁡N)O(\log N) / O(\log N) 的

代码实现

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#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;

struct BinomialNode {
    // Node structure for storing the tree, using linked storage
    int key;                // Key value of the node
    int degree;             // Degree of the binomial tree (number of children)
    BinomialNode* parent;   // Pointer to the parent node
    BinomialNode* child;    // Pointer to the first child node
    BinomialNode* sibling;  // Pointer to the next sibling node

    BinomialNode(int k) : key(k), degree(0), parent(nullptr), child(nullptr), sibling(nullptr) {}
};

class BinomialHeap {
public:
    BinomialHeap() : head(nullptr) {}

    // Insert a new key into the heap
    void insert(int key) {
        BinomialNode* newNode = new BinomialNode(key); // Create a new node with the given key
        BinomialHeap tempHeap;                        // Create a temporary heap
        tempHeap.head = newNode;                      // Set the new node as the head of the temporary heap
        merge(tempHeap);                              // Merge the temporary heap with the current heap
    }

    // Delete the minimum key from the heap
    void deleteMin() {
        if (!head) return; // If the heap is empty, do nothing

        BinomialNode* minNode = head; // Initialize minNode with the head of the heap
        BinomialNode* prev = nullptr; // Pointer to the previous node of minNode
        BinomialNode* curr = head;    // Pointer to traverse the heap

        // Find the minimum node in the root list
        while (curr) {
            if (curr->key < minNode->key) {
                minNode = curr;
                prev = curr;
            }
            curr = curr->sibling;
        }

        // Remove the minimum node from the root list
        if (prev) {
            prev->sibling = minNode->sibling; // Bypass the minNode
        } else {
            head = minNode->sibling; // Update the head if minNode is the first node
        }

        // Reverse the child list of minNode to create a new heap
        BinomialHeap tempHeap;
        tempHeap.head = reverseChildren(minNode->child);

        // Merge the new heap with the original heap
        merge(tempHeap);

        delete minNode; // Free the memory of the deleted node
    }

    // Get the minimum key in the heap
    int getMin() const {
        if (!head) {
            throw std::runtime_error("Heap is empty!"); // Throw an exception if the heap is empty
        }
        int minVal = head->key; // Initialize minVal with the key of the head node
        for (BinomialNode* curr = head; curr; curr = curr->sibling) {
            minVal = min(minVal, curr->key); // Traverse the root list to find the minimum key
        }
        return minVal;
    }

private:
    BinomialNode* head; // Pointer to the head of the root list

    // Reverse the child list of a node
    BinomialNode* reverseChildren(BinomialNode* node) {
        BinomialNode* prev = nullptr; // Pointer to the previous node
        BinomialNode* curr = node;    // Pointer to traverse the child list
        while (curr) {
            BinomialNode* next = curr->sibling; // Store the next sibling
            curr->sibling = prev;               // Reverse the sibling pointer
            curr->parent = nullptr;            // Clear the parent pointer
            prev = curr;                        // Move prev to the current node
            curr = next;                        // Move curr to the next node
        }
        return prev; // Return the new head of the reversed list
    }

    // Merge two binomial heaps
    void merge(BinomialHeap& other) {
        BinomialNode* newHead = nullptr;      // New head of the merged heap
        BinomialNode** tail = &newHead;       // Pointer to the tail of the merged heap
        BinomialNode* h1 = head;              // Pointer to traverse the first heap
        BinomialNode* h2 = other.head;        // Pointer to traverse the second heap

        // Merge the root lists of the two heaps
        while (h1 && h2) {
            if (h1->degree < h2->degree) {    // Compare degrees and add the smaller one to the merged list
                *tail = h1;
                h1 = h1->sibling;
            } else {
                *tail = h2;
                h2 = h2->sibling;
            }
            tail = &((*tail)->sibling);       // Move the tail pointer forward
        }

        // Append the remaining nodes from either heap
        *tail = h1 ? h1 : h2;
        head = newHead;                       // Update the head of the merged heap

        consolidate();                        // Consolidate the merged heap to ensure unique degrees
    }

    // Consolidate the heap to ensure each degree appears only once
    void consolidate() {
        vector<BinomialNode*> degreeTable(32, nullptr); // Table to store nodes by degree (max degree assumed to be 32)

        BinomialNode* curr = head;            // Pointer to traverse the heap
        BinomialNode* next;

        while (curr) {
            next = curr->sibling;             // Store the next sibling
            while (degreeTable[curr->degree]) { // Check if there is another node with the same degree
                BinomialNode* other = degreeTable[curr->degree]; // Get the other node
                if (curr->key > other->key) swap(curr, other);   // Ensure curr has the smaller key
                link(other, curr);                               // Link the two nodes
                degreeTable[curr->degree - 1] = nullptr;         // Clear the previous degree entry
            }
            degreeTable[curr->degree] = curr; // Store the current node in the table
            curr = next;                      // Move to the next node
        }

        head = nullptr;                       // Reset the head of the heap
        for (auto node : degreeTable) {       // Rebuild the root list from the degree table
            if (node) {
                node->sibling = head;         // Add the node to the front of the root list
                head = node;
            }
        }
    }

    // Link two binomial trees together
    void link(BinomialNode* child, BinomialNode* parent) {
        child->parent = parent;               // Set the parent of the child node
        child->sibling = parent->child;       // Add the child to the front of the parent's child list
        parent->child = child;                // Update the parent's child pointer
        parent->degree++;                     // Increment the degree of the parent
    }
};

// Test the BinomialHeap class
int main() {
    try {
        BinomialHeap bh;

        // Insert elements into the heap
        bh.insert(10);
        bh.insert(5);
        bh.insert(7);
        bh.insert(3);
        bh.insert(8);

        // Print the minimum element
        cout << "Minimum element: " << bh.getMin() << endl;

        // Delete the minimum element and print the new minimum
        bh.deleteMin();
        cout << "Minimum element after deletion: " << bh.getMin() << endl;

        // Delete the minimum element again and print the new minimum
        bh.deleteMin();
        cout << "Minimum element after second deletion: " << bh.getMin() << endl;

    } catch (const exception& e) {
        cerr << "Error: " << e.what() << endl;
    }

    return 0;
}

Priority Queue in STL

在头文件queue中，存在使用二叉堆实现的类模板容器priority_queue，其有三个模版参数：

  • 队列中的元素类型
  • 底层储存二叉堆的容器类型（数组，因为是完全二叉树）
  • 最大堆还是最小堆

std::priority_queue 是 C++ 标准模板库（STL）中的一个容器适配器，用于实现优先队列。优先队列是一种特殊的队列，其中每个元素都有一个优先级，优先级高的元素会被优先处理。默认情况下，std::priority_queue 是一个最大堆，即优先级最高的元素（即最大值）位于队列的顶部。

自定义比较函数

默认情况下，std::priority_queue 是最大堆。如果想实现最小堆或其他自定义排序规则，可以通过自定义比较函数来实现。

最小堆示例：

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#include <queue>
#include <vector>

// 使用 std::greater 实现最小堆
std::priority_queue<int, std::vector<int>, std::greater<int>> minHeap;

minHeap.push(10);
minHeap.push(30);
minHeap.push(20);

std::cout << "Top element: " << minHeap.top() << std::endl;  // 输出 10

自定义比较函数示例：

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struct CustomCompare {
    bool operator()(const int& lhs, const int& rhs) const {
        return lhs > rhs;  // 最小堆
    }
};

std::priority_queue<int, std::vector<int>, CustomCompare> customPQ;

customPQ.push(10);
customPQ.push(30);
customPQ.push(20);

std::cout << "Top element: " << customPQ.top() << std::endl;  // 输出 10

Application: The simulation of Queueing system

TBD

Extension: Fibonacci Heap

Powered By GPT-4o

斐波那契堆（Fibonacci Heap）是一种高效的优先队列数据结构，由Michael L. Fredman 和 Robert E. Tarjan 在1984年提出。它在许多操作上具有优秀的渐进时间复杂度，特别适合需要频繁插入和合并的场景。

  1. 高效的操作时间复杂度：

    • 插入（Insert）：O(1) 摊还时间。
    • 合并（Union）：O(1) 摊还时间。
    • 查找最小值（Find-Min）：O(1) 时间。
    • 删除最小值（Extract-Min）：O(log n) 摊还时间。
    • 减小键值（Decrease-Key）：O(1) 摊还时间。
    • 删除节点（Delete）：O(log n) 摊还时间。

  2. 松散的树形结构：

    • 斐波那契堆由一组最小堆有序树组成，这些树之间没有严格的形状约束（与二叉堆不同）。
    • 树之间的合并和拆分非常灵活，这使得斐波那契堆在某些操作中表现优异。

  3. 延迟合并策略：

    • 许多操作（如删除最小值）会延迟执行实际的结构调整，直到必要时才进行清理（consolidation），从而摊还时间复杂度更低
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#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

struct Node {
    int key;
    int degree = 0; // 子节点的数量
    bool marked = false; // 是否失去了一个子节点
    Node* parent = nullptr;
    Node* child = nullptr; // 指向第一个子节点
    Node* left = nullptr; // 左兄弟
    Node* right = nullptr; // 右兄弟

    explicit Node(int k) : key(k), left(this), right(this) {}
};

class FibonacciHeap {
private:
    Node* minNode = nullptr; // 指向当前最小节点
    int nodeCount = 0;

    void consolidate() {
        int maxDegree = static_cast<int>(std::log2(nodeCount)) + 1;
        std::vector<Node*> degreeTable(maxDegree, nullptr);

        std::vector<Node*> roots;
        Node* current = minNode;
        if (current) {
            do {
                roots.push_back(current);
                current = current->right;
            } while (current != minNode);
        }

        for (Node* x : roots) {
            int d = x->degree;
            while (degreeTable[d] != nullptr) {
                Node* y = degreeTable[d];
                if (x->key > y->key) {
                    std::swap(x, y);
                }
                link(y, x);
                degreeTable[d] = nullptr;
                d++;
            }
            degreeTable[d] = x;
        }

        minNode = nullptr;
        for (Node* root : degreeTable) {
            if (root) {
                if (!minNode || root->key < minNode->key) {
                    minNode = root;
                }
            }
        }
    }

    void link(Node* y, Node* x) {
        // Remove y from the root list
        y->left->right = y->right;
        y->right->left = y->left;

        // Make y a child of x
        y->parent = x;
        if (!x->child) {
            x->child = y;
            y->left = y;
            y->right = y;
        } else {
            y->left = x->child;
            y->right = x->child->right;
            x->child->right->left = y;
            x->child->right = y;
        }
        x->degree++;
        y->marked = false;
    }

    void addChild(Node* parent, Node* child) {
        if (!parent->child) {
            parent->child = child;
            child->left = child;
            child->right = child;
        } else {
            child->left = parent->child;
            child->right = parent->child->right;
            parent->child->right->left = child;
            parent->child->right = child;
        }
        child->parent = parent;
        parent->degree++;
    }

public:
    FibonacciHeap() = default;

    bool isEmpty() const {
        return minNode == nullptr;
    }

    Node* insert(int key) {
        Node* newNode = new Node(key);
        if (!minNode) {
            minNode = newNode;
        } else {
            // Add to root list
            newNode->left = minNode;
            newNode->right = minNode->right;
            minNode->right->left = newNode;
            minNode->right = newNode;

            if (newNode->key < minNode->key) {
                minNode = newNode;
            }
        }
        nodeCount++;
        return newNode;
    }

    int findMin() const {
        if (!minNode) throw std::runtime_error("Heap is empty");
        return minNode->key;
    }

    int extractMin() {
        Node* z = minNode;
        if (z) {
            if (z->child) {
                Node* child = z->child;
                do {
                    Node* nextChild = child->right;
                    // Add child to root list
                    child->left = minNode;
                    child->right = minNode->right;
                    minNode->right->left = child;
                    minNode->right = child;
                    child->parent = nullptr;
                    child = nextChild;
                } while (child != z->child);
            }

            // Remove z from root list
            z->left->right = z->right;
            z->right->left = z->left;

            if (z == z->right) {
                minNode = nullptr;
            } else {
                minNode = z->right;
                consolidate();
            }
            nodeCount--;
            int key = z->key;
            delete z;
            return key;
        }
        throw std::runtime_error("Heap is empty");
    }

    ~FibonacciHeap() {
        if (minNode) {
            std::vector<Node*> stack;
            stack.push_back(minNode);
            while (!stack.empty()) {
                Node* current = stack.back();
                stack.pop_back();
                Node* child = current->child;
                if (child) {
                    Node* temp = child;
                    do {
                        stack.push_back(temp);
                        temp = temp->right;
                    } while (temp != child);
                }
                delete current;
            }
        }
    }
};

int main() {
    FibonacciHeap heap;
    heap.insert(10);
    heap.insert(5);
    heap.insert(20);
    heap.insert(1);

    std::cout << "Minimum: " << heap.findMin() << std::endl; // 输出 1
    std::cout << "Extract Min: " << heap.extractMin() << std::endl; // 输出 1
    std::cout << "New Minimum: " << heap.findMin() << std::endl; // 输出 5

    return 0;
}

  1. 节点结构：

    • 每个节点包含 key 值、度数（degree）、标记状态（marked）、父节点指针（parent）、子节点指针（child）以及左右兄弟指针（left 和 right）。

  2. 核心操作：

    • insert：将新节点插入根链表，并更新最小节点。
    • findMin：返回当前最小节点的键值。
    • extractMin：删除最小节点，并重新调整堆结构。
    • consolidate：通过合并相同度数的树来优化堆结构。

  3. 辅助函数：

    • link：将一个节点作为另一个节点的子节点。
    • addChild：将子节点添加到父节点的子链表中。

  4. 析构函数：

    • 递归释放所有节点的内存，避免内存泄漏。
Algorithm > SJTU CS0501(H) Data Structure
#tutorial #Tree #Finished #Data Structure #C/C++ #Binary Heap
DataStructure-Tree-Binary-Heap
https://xiyuanyang-code.github.io/posts/DataStructure-Tree-Binary-Heap/
Author
Xiyuan Yang
Posted on
March 24, 2025
Updated on
July 10, 2025
Licensed under